الكسور
هي الأعداد غير الصحيحة أو هي طريقة معينة للتعبير عن مثل هذه الأعداد.
فالعدد "نصف" يعبر عنه بهذا الشكل (2/1) ويطلق عليه كسر اعتيادي. ويطلق
على الرقم السفلي - وهو في هذه الحالة (2) - "المقام" وهو يعبر عن عدد
المقاطع التي يقسم عليها العدد الإجمالي. أما الرقم العلوي ويطلق عليه
"البسط" - وهو في هذه الحالة (1) - فإنه يعبر عن عدد المقاطع الموجودة في
هذا الكسر الاعتيادي.
هناك كسور اعتيادية بسيطة أخرى مثل ثلث (3/1) وثلثين (3/2) وربع (4/1)
وثلاثة أرباع (4/3). وعادة ما تختصر الكسور الاعتيادية إلى أقل صيغة لها
بقسمة البسط والمقام على أي عامل مشترك بينهما. فعلى سبيل المثال، يعاد
صياغة الكسر (16/6) إلى (8/3) وذلك بقسمة كل من البسط والمقام على (2).
ومن ثم لا يستخدم الكسر (4/2) مثلا لأنه هو بالضبط القيمة (2/1). ومن
الممكن أيضا استخدام الكسور الأكبر من واحد صحيح مثل (4/5) وهذه تسمى كسور
معتلة. ويمكن كذلك اختصارها إلى أقرب رقم صحيح وكسر.
وهناك صورة أخرى للتعبير عن هذه الأعداد وهي صورة الكسور العشرية فيعبر عن
العدد بقيمته بالنسبة للعدد 10 أو 100 أو 1000 فالعدد غير الصحيح نصف يعبر
عنه بهذا الشكل (5.) ويعود الفضل في اكتشاف فكرة الكسور العشرية للرياضي
المسلم الكاشي الذي توصل إليها في القرن الثامن الهجري / الرابع عشر
الميلادي وظلت مستخدمة بالشكل الذي تحدث عنه حتى الآن. كما أهدى الكاشي
إلى البشرية وعلم الحساب فكرة تحويل الكسور الاعتيادية إلى كسور عشرية.
ويظهر ذلك في كتابه مفتاح الحساب الذي حوى للمرة الأولى على الكثير من
المسائل التي تستعمل فيها الكسور العشرية. كما استخدم الفاصلة التي يسرت
الحساب وأصبحت بعد ذلك ذات شأن عظيم في الآلات الحاسبة الحديثة.
ومع زيادة استخدام النظام المتري في كل أنحاء العالم، زاد استخدام الكسور
العشرية مثل 0.5 و3.2 بالمقارنة بالكسور الاعتيادية لعدة أغراض على الرغم
من أنه لا يمكن حساب الكسور العشرية البسيطة في استخدامات الحياة اليومية.
الكاشي (000-839هـ / 000 -1436م)
غياث الدين جمشيد بن مسعود بن محمود بن محمد الكاشي، ويعرف أيضا
بالكاشاني، عالم رياضي وفلكي اشتهر في القرن التاسع الهجري / الخامس عشر
الميلادي.
ولد في مدينة كاشان ببلاد فارس وإليها نسب. ونشأ في بيت علم حيث كان أبوه
من أكبر علماء الرياضيات والفلك، فشب الكاشي على ولعه بالرياضيات.
عرف الكاشي بكثرة تنقله في المدن لطلب العلم ونهل المعرفة، ولذلك تنوعت
معارفه فدرس العلوم في أماكن شتى من بلاد فارس. وقد اشتهر بحبه لقراءة
القرآن الكريم فكان يقرأ القرآن مرة كل يوم، ثم درس النحو والصرف والفقه
على مذاهب الأئمة الأربعة فأجادها وتمكن منها وأصبح حجة فيها. واستفاد من
معرفته بالمنطق فانكب على دراسة تواليف الرياضيات يلتهمها التهاما مما
أدهش علماء الرياضيات لقدرته في الاستيعاب وحسن التعبير. وعندما سأله
البعض هل يمكن عمل آلة يعرف منها تقاويم الكواكب وعروضها أم لا، فابتكر
فيه رسم صفحة واحدة من صحيفة يعرف منها تقاويم الكواكب السبعة وعروضها
وأبعادها عن الأرض ، وعمل الخسوف و الكسوف بأسهل طريق وأقرب زمان، ثم
استنبط منها أنواعا مختلفة يعرف من كل واحد منها ما يعرف من الآخر. ولقد
أعطى الكاشي شرحا مفصلا لكيفية رسم إهليليجي للقمر و عطارد . كما بحث في
تعيين النسبة التقريبية للثابت (ط) ، فأثبت قيمة تلك النسبة إلى درجة من
التقريب تفوق من سبقه بكثير.
أما عن إنجازاته في الرياضيات فيعد الكاشي أول من وضع الكسور العشرية مما
كان له بالغ الأثر في دفع تقدم الحساب واختراع الآلات الحاسبة. فقد استخدم
للمرة الأولى الصفر تماما للأغراض نفسها التي نعرفها ونتداولها في عصرنا
الحاضر. كما زاد الكاشي على من سبقه من العلماء المسلمين في نظرية
الأعداد، وبرهن قانونا لمجموع الأعداد الطبيعية المرفوعة إلى القوة
الرابعة، وهو القانون الذي لعب دورا أساسيا في تطور علم الأعداد.
وكان الكاشي يعتمد في بدء بحوثه على الجداول الرياضية التي وضعها السابقون
من المسلمين لإيجاد حدود المعادلة الجبرية، ولكنه عدل عن ذلك واستخدم
القاعدة العامة لنظرية ذا ت الحدين، وهي التي ابتكرها عمر الخيام من قبل،
وطورها لأي أس صحيح. وفي الهندسة حذا الكاشي حذو إقليدس في هذا العلم
وتبعه في تعاريفه ونظرياته، إلا أنه أخذ برأي نصير الدين الطوسي في نقضه
لفرضية إقليدس الخامسة. وفي علم المثلثات درس الكاشي تواليف المتقدمين من
علماء الإسلام، وشرح وعلق على إنتاجهم. وقد حسب جداول لجيب الدرجة الأولى،
واستخدم في ذلك معادلة ذات الدرجة الثالثة في معادلاته المثلثية، وصورة
ذلك المعادلة: جا 3 س= 4 جا س 3 - 3 جا س.
ترك الكاشي عددا من المؤلفات الهامة جلها في الرياضيات والفلك منها: كتاب
مفتاح الحساب الذي حوى للمرة الأولى الكثير من المسائل التي تستعمل الكسور
العشرية، ورسالة في الحساب ، ورسالة في الهندسة ، ورسالة في المساحات ،
ورسالة الجيب والوتر ، ورسالة استخراج جيب الدرجة الأولى ، ورسالة في
الأعداد الصحيحة ، ورسالة في الجذور الصم ، ورسالة في التضعيف والتصنيف
والجمع والتفريق ، ورسالة في طريقة استخراج الضلع الأول من المضلعات ،
ورسالة في معرفة التداخل والتشارك والتباين ، ورسالة في طريقة استخراج
المجهول ، ورسالة عن الكسور العشرية والاعتيادية .
أما مؤلفاته في علم الفلك فهي كتاب زيج الخقاني (تصحيح زيج الأيلخاني
للطوسي)، وكتاب في علم الهيئة ، ورسالة نزهة الحدائق وهي مشتملة على كيفية
عمل آلة حساب التقاويم، وكيفية العمل بها، وأسماها طبق المناطق ، وألحق
بها عمل الآلة المسماة بلوح الاتصالات، وهي أيضا مما اخترع عملها.
جمع الكسور :
الدوري والرقم غير الدوري في الكسور العشرية الدورية
الهدف : أن يتعرف الدارس إلى الأرقام الدورية وكيفية كتابتها وقراءتها .
الخبرات السابقة : الكسور المنتهية والكسور الدورية .
الإجراءات والأنشطة :
حوِّل الكسور التالية إلى كسور عشرية وادرس جيداً الرقم أو الأرقام الناتجة عن إجراء عمليات القسمة في كل واحد منها .
نُسمي كل كسر من هذه الكسور العشرية "كسراً عشرياً دورياً" .
إلى كسر عشري عن طريق قسمة البسط (1) على المقام (3) قسمة فعلية . وإذا
يتم تحويل الكسر
قمت بإجراء عملية القسمة هذه تُلاحظ أن العدد نفسه يتكرر في ناتج القسمة
باستمرار ، ولا يمكن أن نصل إلى وضع يكون الباقي فيه صفراً .
إن الرقم الدائر في هذا الكسر العشري 0.33333 هو (3) ويُكتب الكسر العشري على صورة
أي يُكتفى بكتابة الرقم الدوري بعد الفاصلة العشرية ويوضع فوقه خط ويُقرأ : صفر فاصلة ثلاثة بالعشرة والرقم 3 دوري .
إن الأرقام الدورية في هذا الكسر العشري هي 18 على الترتيب ويكتب الكسر على صورة
أي يُكتفى بكتابة رقمي الدورة بعد الفاصلة العشرية ويُقرأ : 18 بالمئة ، والعدد 18 دوري .
أي يُكتفى
إن الأرقام الدورية في هذا الكسر هي 315 على الترتيب ويُكتب الكسر على صورة
بكتابة أرقام الدورة بعد الفاصلة العشرية ويُقرأ 315 بالألف والعدد 315 دوري
لاحظ هنا أن الكسر العشري يتكون من رقم غير دوري ، وهو الواحد (1) ومن الرقم 6 وهو دوري . يُكتب
أي يُكتفى بكتابة الرقم غير الدوري والرقم الدوري بعد الفاصلة ويوضع فوق
هذا الكسرهكذا :
الرقم الدوري خط . ويُقرأ 16 بالمئة والرقم 6 دوري .
لاحظ هنا أن الكسر العشري يتكون من رقم غير دوري ، وهو الواحد ومن الرقم 3 وهو دوري . يُكتب هذا
أي يُكتفى بكتابة الرقم غير الدوري والرقم الدوري بعد الفاصلة ويوضع فوق الرقم الدوري
الكسرهكذا:
خط . ويُقرأ 13 بالمئة والرقم 3 دوري .
هي الأعداد غير الصحيحة أو هي طريقة معينة للتعبير عن مثل هذه الأعداد.
فالعدد "نصف" يعبر عنه بهذا الشكل (2/1) ويطلق عليه كسر اعتيادي. ويطلق
على الرقم السفلي - وهو في هذه الحالة (2) - "المقام" وهو يعبر عن عدد
المقاطع التي يقسم عليها العدد الإجمالي. أما الرقم العلوي ويطلق عليه
"البسط" - وهو في هذه الحالة (1) - فإنه يعبر عن عدد المقاطع الموجودة في
هذا الكسر الاعتيادي.
هناك كسور اعتيادية بسيطة أخرى مثل ثلث (3/1) وثلثين (3/2) وربع (4/1)
وثلاثة أرباع (4/3). وعادة ما تختصر الكسور الاعتيادية إلى أقل صيغة لها
بقسمة البسط والمقام على أي عامل مشترك بينهما. فعلى سبيل المثال، يعاد
صياغة الكسر (16/6) إلى (8/3) وذلك بقسمة كل من البسط والمقام على (2).
ومن ثم لا يستخدم الكسر (4/2) مثلا لأنه هو بالضبط القيمة (2/1). ومن
الممكن أيضا استخدام الكسور الأكبر من واحد صحيح مثل (4/5) وهذه تسمى كسور
معتلة. ويمكن كذلك اختصارها إلى أقرب رقم صحيح وكسر.
وهناك صورة أخرى للتعبير عن هذه الأعداد وهي صورة الكسور العشرية فيعبر عن
العدد بقيمته بالنسبة للعدد 10 أو 100 أو 1000 فالعدد غير الصحيح نصف يعبر
عنه بهذا الشكل (5.) ويعود الفضل في اكتشاف فكرة الكسور العشرية للرياضي
المسلم الكاشي الذي توصل إليها في القرن الثامن الهجري / الرابع عشر
الميلادي وظلت مستخدمة بالشكل الذي تحدث عنه حتى الآن. كما أهدى الكاشي
إلى البشرية وعلم الحساب فكرة تحويل الكسور الاعتيادية إلى كسور عشرية.
ويظهر ذلك في كتابه مفتاح الحساب الذي حوى للمرة الأولى على الكثير من
المسائل التي تستعمل فيها الكسور العشرية. كما استخدم الفاصلة التي يسرت
الحساب وأصبحت بعد ذلك ذات شأن عظيم في الآلات الحاسبة الحديثة.
ومع زيادة استخدام النظام المتري في كل أنحاء العالم، زاد استخدام الكسور
العشرية مثل 0.5 و3.2 بالمقارنة بالكسور الاعتيادية لعدة أغراض على الرغم
من أنه لا يمكن حساب الكسور العشرية البسيطة في استخدامات الحياة اليومية.
الكاشي (000-839هـ / 000 -1436م)
غياث الدين جمشيد بن مسعود بن محمود بن محمد الكاشي، ويعرف أيضا
بالكاشاني، عالم رياضي وفلكي اشتهر في القرن التاسع الهجري / الخامس عشر
الميلادي.
ولد في مدينة كاشان ببلاد فارس وإليها نسب. ونشأ في بيت علم حيث كان أبوه
من أكبر علماء الرياضيات والفلك، فشب الكاشي على ولعه بالرياضيات.
عرف الكاشي بكثرة تنقله في المدن لطلب العلم ونهل المعرفة، ولذلك تنوعت
معارفه فدرس العلوم في أماكن شتى من بلاد فارس. وقد اشتهر بحبه لقراءة
القرآن الكريم فكان يقرأ القرآن مرة كل يوم، ثم درس النحو والصرف والفقه
على مذاهب الأئمة الأربعة فأجادها وتمكن منها وأصبح حجة فيها. واستفاد من
معرفته بالمنطق فانكب على دراسة تواليف الرياضيات يلتهمها التهاما مما
أدهش علماء الرياضيات لقدرته في الاستيعاب وحسن التعبير. وعندما سأله
البعض هل يمكن عمل آلة يعرف منها تقاويم الكواكب وعروضها أم لا، فابتكر
فيه رسم صفحة واحدة من صحيفة يعرف منها تقاويم الكواكب السبعة وعروضها
وأبعادها عن الأرض ، وعمل الخسوف و الكسوف بأسهل طريق وأقرب زمان، ثم
استنبط منها أنواعا مختلفة يعرف من كل واحد منها ما يعرف من الآخر. ولقد
أعطى الكاشي شرحا مفصلا لكيفية رسم إهليليجي للقمر و عطارد . كما بحث في
تعيين النسبة التقريبية للثابت (ط) ، فأثبت قيمة تلك النسبة إلى درجة من
التقريب تفوق من سبقه بكثير.
أما عن إنجازاته في الرياضيات فيعد الكاشي أول من وضع الكسور العشرية مما
كان له بالغ الأثر في دفع تقدم الحساب واختراع الآلات الحاسبة. فقد استخدم
للمرة الأولى الصفر تماما للأغراض نفسها التي نعرفها ونتداولها في عصرنا
الحاضر. كما زاد الكاشي على من سبقه من العلماء المسلمين في نظرية
الأعداد، وبرهن قانونا لمجموع الأعداد الطبيعية المرفوعة إلى القوة
الرابعة، وهو القانون الذي لعب دورا أساسيا في تطور علم الأعداد.
وكان الكاشي يعتمد في بدء بحوثه على الجداول الرياضية التي وضعها السابقون
من المسلمين لإيجاد حدود المعادلة الجبرية، ولكنه عدل عن ذلك واستخدم
القاعدة العامة لنظرية ذا ت الحدين، وهي التي ابتكرها عمر الخيام من قبل،
وطورها لأي أس صحيح. وفي الهندسة حذا الكاشي حذو إقليدس في هذا العلم
وتبعه في تعاريفه ونظرياته، إلا أنه أخذ برأي نصير الدين الطوسي في نقضه
لفرضية إقليدس الخامسة. وفي علم المثلثات درس الكاشي تواليف المتقدمين من
علماء الإسلام، وشرح وعلق على إنتاجهم. وقد حسب جداول لجيب الدرجة الأولى،
واستخدم في ذلك معادلة ذات الدرجة الثالثة في معادلاته المثلثية، وصورة
ذلك المعادلة: جا 3 س= 4 جا س 3 - 3 جا س.
ترك الكاشي عددا من المؤلفات الهامة جلها في الرياضيات والفلك منها: كتاب
مفتاح الحساب الذي حوى للمرة الأولى الكثير من المسائل التي تستعمل الكسور
العشرية، ورسالة في الحساب ، ورسالة في الهندسة ، ورسالة في المساحات ،
ورسالة الجيب والوتر ، ورسالة استخراج جيب الدرجة الأولى ، ورسالة في
الأعداد الصحيحة ، ورسالة في الجذور الصم ، ورسالة في التضعيف والتصنيف
والجمع والتفريق ، ورسالة في طريقة استخراج الضلع الأول من المضلعات ،
ورسالة في معرفة التداخل والتشارك والتباين ، ورسالة في طريقة استخراج
المجهول ، ورسالة عن الكسور العشرية والاعتيادية .
أما مؤلفاته في علم الفلك فهي كتاب زيج الخقاني (تصحيح زيج الأيلخاني
للطوسي)، وكتاب في علم الهيئة ، ورسالة نزهة الحدائق وهي مشتملة على كيفية
عمل آلة حساب التقاويم، وكيفية العمل بها، وأسماها طبق المناطق ، وألحق
بها عمل الآلة المسماة بلوح الاتصالات، وهي أيضا مما اخترع عملها.
جمع الكسور :
الدوري والرقم غير الدوري في الكسور العشرية الدورية
الهدف : أن يتعرف الدارس إلى الأرقام الدورية وكيفية كتابتها وقراءتها .
الخبرات السابقة : الكسور المنتهية والكسور الدورية .
الإجراءات والأنشطة :
حوِّل الكسور التالية إلى كسور عشرية وادرس جيداً الرقم أو الأرقام الناتجة عن إجراء عمليات القسمة في كل واحد منها .
نُسمي كل كسر من هذه الكسور العشرية "كسراً عشرياً دورياً" .
إلى كسر عشري عن طريق قسمة البسط (1) على المقام (3) قسمة فعلية . وإذا
يتم تحويل الكسر
قمت بإجراء عملية القسمة هذه تُلاحظ أن العدد نفسه يتكرر في ناتج القسمة
باستمرار ، ولا يمكن أن نصل إلى وضع يكون الباقي فيه صفراً .
إن الرقم الدائر في هذا الكسر العشري 0.33333 هو (3) ويُكتب الكسر العشري على صورة
أي يُكتفى بكتابة الرقم الدوري بعد الفاصلة العشرية ويوضع فوقه خط ويُقرأ : صفر فاصلة ثلاثة بالعشرة والرقم 3 دوري .
إن الأرقام الدورية في هذا الكسر العشري هي 18 على الترتيب ويكتب الكسر على صورة
أي يُكتفى بكتابة رقمي الدورة بعد الفاصلة العشرية ويُقرأ : 18 بالمئة ، والعدد 18 دوري .
أي يُكتفى
إن الأرقام الدورية في هذا الكسر هي 315 على الترتيب ويُكتب الكسر على صورة
بكتابة أرقام الدورة بعد الفاصلة العشرية ويُقرأ 315 بالألف والعدد 315 دوري
لاحظ هنا أن الكسر العشري يتكون من رقم غير دوري ، وهو الواحد (1) ومن الرقم 6 وهو دوري . يُكتب
أي يُكتفى بكتابة الرقم غير الدوري والرقم الدوري بعد الفاصلة ويوضع فوق
هذا الكسرهكذا :
الرقم الدوري خط . ويُقرأ 16 بالمئة والرقم 6 دوري .
لاحظ هنا أن الكسر العشري يتكون من رقم غير دوري ، وهو الواحد ومن الرقم 3 وهو دوري . يُكتب هذا
أي يُكتفى بكتابة الرقم غير الدوري والرقم الدوري بعد الفاصلة ويوضع فوق الرقم الدوري
الكسرهكذا:
خط . ويُقرأ 13 بالمئة والرقم 3 دوري .
